Khishtaki @ 18.8.2016
БоевойСлон, не понял. на отрезке невозможно стремиться асимптотически. Асимпотически - это всегда в бесконечности :(
Какое свойство монотонных функций и на каком отрезке ты имеешь в виду???
Признаю, что выразился поспешно, неточно, нестрого и вообще минус мне :)
Вместо монотонности нужна непрерывность. Строгое утверждение такое:
Пусть F(x)>0. Пусть Xn - последовательность, стремящаяся к Х. Тогда если F непрерывна в точке Х, и F(X)>1, то произведение F(Xn) стремится к бесконечности. Т.е. чтобы произведение не стремилось к бесконечности,
необходимо чтобы в предельной точке F(X) была не больше 1.
Высказанное утверждение непосредственно следует из определения предела и непрерывности функции в точке. Я созрел для более сильного и общего утверждения, но уберу его под спойлер, а то Денис очень удивится, вернувшись сюда после наслаждения личной жизнью и увидев, что у него осталось всего два читателя.
Пусть V(t) - вектор, описывающий все интересующие параметры генетического распределения внутри популяции в момент времени t (частоты генов, различных комбинаций, всё что угодно.) внутри популяции. Значения параметров должны быть от 0 до 1 (этого можно добиться перенормировкой). Множество возможных значений вектора V лежит в некотором замкнутом множестве без изолированных точек. А(V) - частота гена А, Б(V) - частота гена Б.
Пусть динамика распределения определяется законом V(t+1) = F(V(t)), где F - непрерывная функция. Пусть также для любого V (такого, что Б(V)>0) верно, что А(F(V))/Б(F(V)) >= A(V)/Б(V) (Это соответствует утверждению, что ген А всегда как минимум не хуже, чем ген Б, т.е. что "наше" с>=1). Наконец, пусть М - множество V, где это неравенство обращается в равенство (т.е. с=1).
Берём произвольное V(0), для которого А(V)>0. Строим последовательность V(0), V(1) и т.д.
Утверждение: либо все предельные точки этой последовательности лежат во множестве М (где с=1), либо Б(V) стремится к 0.
Из этого следует, что если не существует такой точки, что А(V)>0, Б(V)>0 и с=1, то Б(V) всегда стремится к 0.