Сравнение доходности двух моделей бекинга

Давайте сразу условимся - дискутировать только в рамках той задачи, которую я здесь сформулирую... Данное исследование не имеет отношения к личностям Макса и Сергея - здесь будет чистая математика, абсолютная абстракция.

Итак, постановка задачи.

Имеется плюсовой игрок с подтверждённым на разумной достаточной дистанции РОЕм в R%
Имеется инвестор, намеревающийся приобрести X% от игры данного игрока в N турнирах (0<N<∞)
Инвестору предлагается на выбор два варианта бекинга: с наценкой и в банкролл.
Бекинг с наценкой: инвестор последовательно покупает доли в каждом турнире, каждый раз выплачивая игроку премию в размере (R/2)%, т.е. платит X/100 * (100+R/2)/100 * Bi и получает X/100 * Pr, где Bi – байин турнира, а Pr – призовые от данного турнира (Pr может раняться 0).
Бекинг в банкролл: инвестор покупает долю X% в банкролле данного игрока, на данный банкролл игрок играет N турниров, по окончании которых инвестор получает X/100 * (Br + E/2), где Br – банкролл на момент окончания серии турниров, а E – прирост банкролла, либо 0 (если окончательный банкролл меньше начального).
Для сопоставимости условий договоримся, что в обоих вариантах возможность досрочного прекращения бекинга не рассматривается.
Задача: сравнить ожидаемый абсолютный доход инвестора от серии, сравнить ожидаемую доходность инвестора от серии на вложенный капитал, изучить влияние различных параметров модели на итоговый выбор (особо - изучить влияние параметра N ).
В рамках модели условимся, что независимо от выбранного варианта бекинга, игрок играет одинаково (психологические факторы стимулирования игрока не рассматриваются).

Сейчас мне надо отъехать. Вернусь - напишу мои расчёты и соображения по модели.

Наверное стоит уточнить БРМ для второго случая - или для простоты предположить что БРМ = сумма бай-инов на серию (что не совсем так в реальности), но для задачи ок наверное
Плюс ещё вопрос о реинвестировании: не учитывается тут для простоты, правильно?
Ну и тайминг тоже не учитываем, я прав? То есть не важно занесет кто-то первый турнир или последний для простоты
Я правильно для себя трактую условия? а то интересно посчитать =)

1. Для начала зададимся вопросом: каким вообще будет распределение ожидаемого результата серии турниров. Очевидно, что при наличии некоторой дистанции распределение будет нормальным (общеизвестный «колокольчик») с максимумом в точке R. Однако, поскольку возможные результаты – не от -∞ до +∞, а от -100% до до +∞, то нам необходимо отобразить данный интервал на интервал {-∞, +∞}. Очевидно, что такое отображение достигается логарифмированием оси x, а поскольку нам надо, чтобы максимум был в точке R, то функции взаимного отображения получаются следующими:
x’ = ln ((100+x)/(100+R)) (1)
x = (100+R)* e^x’ – 100 (2)

Таким образом, в терминах реального достигнутого ROI равновероятные исходы серии турниров справа и слева от R вычисляются по формуле (2) для +x’ и –x’.

Дальше, дабы не мучаться с переменными, рассмотрим задачу в числах, а потом попробуем экстраполировать результат на общий случай с помощью здравого смысла и такой-то матери :).

2. Пусть R= +50%. Выпишем в таблицу несколько равновероятных исходов прибыльности серии турниров в процентах относительно сумм всех байинов:

Прибыльность серии.....-50%....0....+25%....+50%...+80%....+125%....+350%
Доход при наценке.......-75.....-25......0..........25........55.........100.........325
Доход при банкролле ...-50......0....12,5.........25........40.........62,5.......175
Вероятность исхода.......p1.....p2.....p3..........p4........p3...........p2........p1


2*p1 + 2*p2 + 2*p3 + p4 = 1

3. Ну дальше всё просто. ЕВ инвестора при наценке равно
250*p1 + 75*p2 + 55*p3 + 25*p4 (3),

а ЕВ инвестора при банкролле равно
125*p1 + 62.5*p2 + 52.5*p3 + 25*p4 (4)

Вычитая (4) из (3) замечаем, что эта разность всегда будет положительной.
В данном случае мы рассмотрели всего 7 вероятных исходов, однако очевидно, что если мы будем дробить ось вероятных исходов на бесконечно малые отрезки, то соотношение между (3) и (4) будет сохраняться. Понятно за счёт чего это происходит: за счёт того, что правая часть колокольчика в реальных результатах (а не в логарифмированной равновероятной оси) будет значительно сильнее вытянута, чем левая, которая ограничена величиной -100%

3. При любом другом положительном R я не вижу причин к тому, чтобы данное соотношение изменилось, оставляю проверку этого утверждения за читателями :)

Таким образом на первый вопрос мы получили довольно неожиданный, но по-моему в достаточной мере обоснованный ответ: в терминах абсолютного дохода инвестору выгоднее наценка.

Продолжу в следующем посте.

maranello @ 3.3.2010, 16:06

https://www.gipsyteam.ru/profile/moronello я немного запутался :)

maranello @ 3.3.2010, 16:06
Наверное стоит уточнить БРМ для второго случая - или для простоты предположить что БРМ = сумма бай-инов на серию (что не совсем так в реальности), но для задачи ок наверное
Плюс ещё вопрос о реинвестировании: не учитывается тут для простоты, правильно?
Ну и тайминг тоже не учитываем, я прав? То есть не важно занесет кто-то первый турнир или последний для простоты
Я правильно для себя трактую условия? а то интересно посчитать =)

Вопрос БРМа и реинвестирования будет рассмотрен в конце исследования.
Тайминг мы предвидеть не можем, у нас есть распределение вероятности и мы рассматриваем модель именно как последовательную череду турниров

Теперь необходимо поизучать влияние пока не рассмотренного параметра N.
Очевидно, что чем больше N, тем меньше дисперсия, т.е. тем более «колокольчик» стянут к центру, и тем меньший вес придаётся его краям…

А рассматривая внимательно формулы (3) и (4) видно, что основной перевес вариант наценки имеет именно на удалённых маловероятных значениях функции.
Таким образом, ясно, что при N->∞ разница между вариантами будет стремиться к нулю, а при малых значениях N разница будет более ощутима.

Предлагаю читателям самостоятельно на основании опыта и доступной статистики оценить величины вероятностей p1-p4 из п.2 для серии в 10 турниров, 100 турниров и 500 турниров и сравнить ЕВ инвестора в обоих вариантах бекинга.

генерал_кагебе @ 3.3.2010, 16:44
https://www.gipsyteam.ru/profile/moronello я немного запутался :)

Мы разные и не вместе. Хотя в этимологии моего данное географическое наименование принимало непосредственное опосредованное участие.

По теме высказаться увы не способен по причине второй бутылки карменера урожая 2000 года.

На основании рассуждений из постов №3 и №6 можно теперь попробовать сравнить доходность инвестиций на вложенный капитал.
Доходность – это отношение абсолютного дохода, полученного инвестором от серии к сумме инвестированных средств.
Вопроса реинвестирования и БРМа пока не касаемся, считаем, что инвестированные средства – это полная сумма всех байинов на все турниры (+ сумма премий для варианта наценки).

Таким образом, нам необходимо сравнить две дроби:
E1/(I*K) и E2/I
где K = (100+R/2)/100,
E1 – ожидаемый доход инвестора по формуле (3)
E2 – ожидаемый доход инвестора по формуле (4)
И как установлено ранее E1 > E2

несложные алгебраические преобразования приводят нас к необходимости сравнения E1 и K*E2.

E1 - K*E2 = E1 - (100+R/2)/100 * E2 = E1 - E2 - R*E2/200 (5)

Обозначим E1 = E2 * x, где x >1
Тогда формула (5) преобразуется в E2 * (x - 1 - R/200) и поскольку нас интересует только положительность/отрицательность выражения, то надо исследовать только выражение в скобках.

Очевидно, что, не зная отклонения распределения результата серии, вычислить x, а значит сделать вывод о большей выгодности одного варианта в сравнении с другим, не представляется возможным. Однако, известно, что на относительно небольших дистанциях дисперсия в МТТ очень высока, а чем выше дисперсия – тем выгоднее для инвестора вариант наценки, так что по крайней мере можно утверждать, что даже в терминах доходности вложений на капитал на небольших дистанциях вариант наценки выгоднее для инвестора, нежели вариант банкролла. В то же время на большой дистанции x устремится к 1 и выгоднее по доходности станет вариант банкролла.

Осталось ещё рассмотреть вопрос реинвестирования… Тут всё просто:
В варианте наценки нет ни малейшего «простоя» капитала – грузится последовательно ровно столько, сколько необходимо, а свободные средства возвращаются инвестору после каждого турнира. Соответственно, достигается максимальная эффективность использования фактического денежного потока.
В варианте банкролла очевидно, что эффективность использования фактического денежного потока ниже – даже если мы грузим в банкролл не всю необходимую на турниры сумму, а меньше в несколько раз, то всё равно значительная часть банкролла будет просто лежать на счету и не использоваться.
Увеличение лимитов также возможно как в случае банкролла, так и в случае наценки.
Таким образом, при долгосрочном (по календарному времени, а не количеству турниров) бекинге, когда стоимость денежного ресурса становится ощутимой, вариант наценки выгоднее. При небольших сроках эта разница может быть непринципиальной.

Окончательный вывод в сущности был ясен с самого начала :).

Для относительно кратковременных, но ёмких по количеству турниров марафонов в онлайне с точки зрения совокупности всех рассмотренных критериев инвестору выгоднее вариант бекинга в банкролл, а для крупных оффлайн-сериий выгоднее покупка долей с наценкой.

Вот и всё, что я хотел вам сообщить по данному вопросу :).

На самом деле, самый тонкий и неочевидный момент - это тот переход, который описан в п.1 поста №3... Но вроде так всё и должно быть на самом деле: как иначе отразить равновероятность противоположных исходов - не линейно же относительно результата!

Охохох. Оставлю на завтра, сегодня уже не осилю.