Как правильно рассчитывать мат.ожидание?

Стандартная формула для мат.ожидания дискретной величины M = Сумма чистого выигрыша*Вероятность выигрыша - Сумма проигрыша*вероятность проигрыша. Для меня и во время игры,и во время решения задач в универе не возникало проблем с пониманием и подсчетом,но,как говорил кто-то из греческих философов : "Чем больше я знаю, тем меньше я знаю"
Проблема,которую я не смог решить и которая мне показалась нетривиальной - что считать суммой чистого выигрыша при уже вложенных в банк деньгах?
В качестве примера кидаю раздачу из покер.вики

Видно,что после ставки мы в 50% случаев заберем 13$,
Понятно, что деньги,уже вложенные в банк,мне не принадлежат, но вложил-то их я и значит чистый выигрыш не будет равняться банку на флопе целиком, а только чужим деньгам в банке,то есть 7$
Знатоки математики,поясните,где ошибка

Monetochka, Попробую объяснить на пальцах и возьму немного другой пример. Представим такую ситуацию: абсолютно не важно, что было на префлопе, абсолютно не важно, какая сила нашей руки.
Выходим на флоп БЕЗ позиции, имея банк в условные 100$, как ты и писал 50$ наши 50$ соперника, в общем хедз ап.
Упростим ситуацию максимально. Ставим конбет в банк 100$ ещё 50$. Предположим, что наш оппонент всегда будет фолдить в 40% случаев, а на остальные 60% пока что наплюём. Даже если он нас колит, представим что мы моментально фолдим на тёрне, не дожидаясь действий оппонента, короче говоря проигрываем банк в оставшихся 60% случаев.
Возникает вопрос, будет ли наша ставка с плюсовым математическим ожиданием?
Представим 2 ситуации.
Первая, это мы моментально фолдим на флопе, не дожидаясь действий оппонента. В этом случае, наше математическое ожидание будет равно нулю. Мы и не выигрываем и не проигрываем ничего. Банк, который образовался на префлопе, не кому не принадлежит, как ты и писал.
Вторая, это наша ставка 50$ в банк 100$. Теперь нужно понять, будет ли это плюсовое действие или нет, с точки зрения математического ожидания. Для этого подставляем все свои данные в формулу:
EV = (100$ * 0,4)+(-50$*0,6) = 40$ - 30$ = 10$
То есть, математическое ожидание нашей ставки будет равно 10$.

Теперь, чтобы было понятнее, представим эту же ситуацию с точки зрения экономики(если можно так выразиться).
Мы вложили на префлопе 50$ + 50$ на флопе. Проценты никуда не делись, выигрываем в 40% проигрываем в 60%.
По итогу, что мы имеем. Проиграем 100$ в 60%, а выиграем 50$ в 40% случаев(те деньги которые он вложил на префлопе).
В конечном остатке имеем: 50$*0,4 - 100$*0,6 = -40$. И возьмём ситуацию с моментальным фолдом, а именно -50$(наши деньги вложенные на префлопе). Как видишь мы в любом случае всрали эту раздачу, но когда мы сделали ставку, всрали чуть меньше, вот это всрали чуть меньше и будет математическим ожиданием. И будет оно со знаком +, хотя и там и там мы проигрываем деньги.

Чтобы было ещё понятнее, возьмём эту же ситуацию, с точки зрения теории вероятности, и возьмём не 1 раздачу, а 1000 таких раздач.
Проценты никуда не делись, как было 60 на 40, так и осталось.
В итоге имеем, что по теории вероятности мы проиграем из этой 1000, 600 раздач, а выиграем 400 раздач.
Получаем 600 раз мы проиграем по 100$, а выиграем 400 раздач по 50$.
-600*100$ = -60 000$
400*50$ = 20 000$ В итоге на дистанции в 1000 раздач проиграем 40 000$
Но, если бы мы всё время моментально фолдили по 50$(те что вложили на префлопе), то на дистанции в 1000 раздач, проиграем 50 000$
И вот эта разница в 10 000$ и будет математическим ожиданием.

Railag, разложил по полочкам))

Railag, Спасибо за объяснение, но мне кажется, оно совсем не отвечает на мой вопрос(вполне мог расписать непонятно). В своем примере ты сравниваешь фактически две несовместные стратегии на флопе и находишь их мат.ожидания, одно из которых -40$, а второе при фолде -50$.Из этих вычислений понятно только, что из этих двух стратегий играть снэпом фолд невыгодно.
В то же время ты считаешь мат.ожидание ставки на флопе двумя способами.И весь мой вопрос сводится к тому,какой из них правильный: первый без учета внесенных денег или второй с учетом. Потому что на твоем примере видно,что в одном случае мы теряем фишки,а в другом нет

Ну формула у тебя есть, то что вложенные ранее деньги тебе не принадлежат ты знаешь, что именно тебе не понятно? Типа почему мы не считаем то что вложили раньше?
Потому что сейчас мы считаем свое ЕВ на флопе чтобы принять правильное действие именно на ФЛОПЕ, даже если мы до этого совершили ошибку.
То есть вот перед тем как открывать эту туз даму, мы посчитали что ЕВ опен рейза с ней лучше чем ЕВ фолда, соответсвенно мы ее открыли (в ЕВ опен рейза как раз входят все эти постфлоп ситуации). Дальше мы хотим понять что лучше с ней делать на флопе, соответственно считаем ЕВ всех этих линий исходя из того что мы уже оказались здесь на этом флопе в таком банке, а действия на прошлых улицах для нас неважны, потому что мы типа уже посчитали их ЕВ перед тем как их совершать

Чтобы тебе было понятнее, давай простой пример приведу. Вот например мы хедзап, в стеках по 100бб. Допустим у нас 72о, оппонент делает опен рейз 3бб, мы зачем-то решаем поставить ему 3бет размером 90бб, он ставит нам олл-ин. Предположим что у нас 20% эквити против его диапазона пуша. Считаем ЕВ фолда и ЕВ колла после того как мы поставили 3бет и получили пуш.
ЕВ фолда = 0
ЕВ колла = 0,2*190 - 0,8*10 = 38-8=30бб
То есть очевидно что нам нужно доставлять эти 10бб, но никак не фолдить если уж мы оказались в такой ситуации. Однако это ведь не значит что мы правильно сыграли со своей рукой поставив 3бет 90бб (там уже отдельно можно считать учитывая фолд эквити и тд, но скорее всего это уже будет хуже чем например ЕВ колла опен рейза или просто ЕВ фолда). Собственно поэтому ЕВ считается именно так.

shameShamee, спасибо за комментарий.Мне все равно не хватает строго обоснования,почему мы считаем,что вложеннные деньги не нужно считать.С комментатором выше вы приводите примеры вычислений и говорите как нужно считать,а мне нужен ответ на вопрос почему так нужно считать.
Простой пример: допустим, HERO нашел чукчу и предложили ему сыграть в орел-решку,где победитель забирает банк.Причем изначально чукча вложил 2$,а HERO 1$.После того как в банке стало 3$, чукча одумался и попросил доложить HERO 1$ и только потом кидать монету. Тогда HERO EV = 0,5*3-0,5*1 = 1$, хотя очевидно,что оно нулевое в момент броска.

Monetochka, а если чукча предложил еще и кинуть кости. Если у нас выпадет 5ка, то мы выиграли, иначе выиграет он.
Мы вложили 1$, чукча 2$.
Кидаем монетку: решка - мы выиграли, орел - выиграл чукча.
Кидаем кости: 5ка - мы выиграли, 1,2,3,4,6 - выиграл чукча.
Какое у нас ожидание от орлянки, от игры в кости, а также от игры в целом?

Happyface588, EV орлянки = 0,5; EV костей = -0,5. Суммарное 0

Благодарю всех,кто откликнулся. Я не смог бы формализовать этот вопрос без ваших комментариев.
Ответ на мой вопрос должен был звучать так: каждое принятие решения считается 1) несовместным, 2) независимым событием.В связи с этим мат.ожидание такой игры можно разложить ввиду линейности на сумму мат.ожиданий при кажодом принятии решении. То есть EV общее = EV префлоп(фолд,лимп,рейз,рейз-колл,рейз-пуш и т.д. все остальные линии) + EVфлоп (чек,бет,чек-рейз....)+ итд....
Таким образом, видно,что даже несмотря на неоптимальную игру, например, на флопе (смотри пример с 3-bet 72o выше) важно при каждой линии на каждой улице независимо повышать общее EV раздачи
Считаю тему закрытой.

Monetochka, Твоя основная проблема была в том, что ты пытался запихнуть в формулу EV левое значение, хотя там чётко написано возьми вот это, помножь на вот это и всё. Но, значение которое пытался запихнуть ты(""значит чистый выигрыш не будет равняться банку на флопе целиком, а только чужим деньгам в банке,то есть 7$""), в принципе тоже можно использовать, просто формула другая будет(не рассчитывающая мат. ожидание) и всё. Я потратил 20 минут, чтобы ты это понял. Ты обратил своё внимание на всё, кроме этого. В своём примере, я просто заменил Mcall на инста фолд и всё(чтобы было легче), но тебя явно повело не в ту сторону, мне кажется ты и не читал полностью, что я написал, ну уж не вник точно.

Railag, я прочитал весь пост и именно твое объяснение уже вечером натолкнуло на правильное решение, так что старался ты явно не зря.