Помогите расчитать вероятность стриков

Я заметил что не все хорошо представляют себе как работать с циферками. А вопросы на тему - к каким отрицательным стрикам морально готовится и в каком диапазоне лежит реальное матожидание мучают многих.

Попробую одним постом ответить на оба вопроса максимально доступно.

Итак вы наиграли 20 тысяч партий на левеле 1/2 10 макс. Посмотрели в покертрэкер и обнаружили, что выигрываете в среднем 2 больших ставки на 100 партий при дисперсии 12 больших ставок на 100 партий.

Вы хотите понять в каких пределах лежит ваше реальное матожидание и каких отрицательных стриков вам имеет смысл ожидать в будущем и с какой периодичностью. Вторая часть важна для расчета необходимого банкролла для игры и для моральной устойчивости

Далее обозначения:

N - количество сыгранных партий

Mo - кол-во больших ставок выигранных за 1-у партию. Если ваш PT показывает 2BB/100 значит Mo=0.02

Dev - стандартное отклонение за одну партию. Если пати показывает 12BB/100, значит это отклонение за одну партию равняется 1.2BB. Не вдаваясь в детали просто делим циферку на 10.

б - кол-во сигм. Оно равно 2-м для достоверности в 95% и 3-м для достоверности 99.7%. Вообще насколько я понимаю это коэффициент Стьюдента для нормального распределения. Но в народе говорят - вылетел за 3 сигмы - видимо так проще.

Сначала посчитаем в каких пределах лежит наше матожидание.

Все считается из следующей формулы:

результат за N партий= Mo*N +- б*Div*sqrt(N)

sqrt - квадратный корень

Таким образом зная оценки Мо и Div за N испытаний мы можем узнать верхнюю и нижнюю границу нашего реального Mo с высокой достоверностью.

соответственно если результат за N партий поделить на N получим границы для Мо

Будем все считать для 95% достоверности, т.е. б=2

Подставляем циферки:

1. Верхняя граница:

Моверх=(0.02*20000+2*1.2*sqrt(20000))/20000=0.037

2. Нижняя граница

Монижн=(0.02*20000-2*1.2*sqrt(20000)/20000=0.003

Таким образом мы можем сказать что с 95% вероятностью наше реальное матожидание лежит в диапазоне 0.3БС/100 и 3.7БС/100. Т.е фактически мы являемся игроком положительным. Легко заметить, что если мы наиграли чуть меньше тыс партий с Мо=2БС/100 мы ещё далеко не можем сказать - положительный ли мы игрок или отрицательный.

Далее переходим ко второй части задачи, а именно к расчету банкролла для заданного риска. Опять же берем 2сигмы, т.е. считаем 5% риск. Внимание 5% риск означает что каждый 20-й человек раззорится, а потому если вы играете чтобы жить вам надо взять 3сигмы как минимум, либо как второй вариант скакать по лимитам вниз при достижении определенной нижней границы, чтобы не раззориться никогда.

Т.е. грубо если вы снимаете все деньги выше расчетного банкролла и тратите их на свои какие-то нужды, то через в течение следующих 20 расчетных диапазонов вы скорей всего раззоритесь.

Для того, чтобы посчитать максимальный отрицательный стрик нам надо найти экстремум функции указанной выше. Т.е. нам надо найти такое N при котором функция

результат за N партий= Mo*N - б*Div*sqrt(N)

будет имень наиболее отрицательное значение. Таким образом мы узнаем с какой периодичностью ожидать крупные отрицательные стрики и какой глубины они будут.

Для нахождения экстремума возьмем производную от указанной функции и приравняв её нулю найдем искомое N

0=Mo-б*Div*1/2/sqrt(N)

Далее путем несложных преобразований:

Mo*sqrt(N)=б*Div*1/2

sqrt(N)=б*Div*1/2/Mo

N=(б*Div*1/2/Mo)^2

^2 означает что все надо возвести в квадрат

Подставляем цифры

N=(2*1.2*0.5/0.02)^2=3600 партий

Подставляем это найденое N в первоначальную формулу:

результат за N партий= Mo*N - б*Div*sqrt(N)

результат=0.02*3600-2*1.2*sqrt(3600)=-72

Таким образом мы видим, что через 3600 следующих сыгранных партий мы с вероятностью 95% не можем залететь более 72 больших ставок в минус.

Отсюда можно посчитать - какова вероятность того, что мы не испытаем стрика более 72 больших ставок вниз скажем за 360 000 партий. Это вероятность равна 0.6% (0.95^100) , т.е. лишь один счастливчик из 168 с похожими на наши параметрами может похвастаться тем, что ему достаточно банкролла в 70 ставок сыграв такое большое кол-во партий. Все остальные на такой дистанции при такой же игре банкролл в размере 72 ставки зальют.

Подставив в вышеуказанные вычисления сигму равную 3-м (т.е. 0.997%) получим что с вероятностью 0.997 за следующие 8100 партий мы не вылетим за 162 больших ставки в минус.

Можно сразу посчитать кому хватит банкролла в 162 ставки за те же 360 000 партий для сравнения. Этот % персонажей равен 0.997^44.44=87.51%. (44.44 получается делением интервала в 360 000 партий на отрезки по 8100 партий) Уже лучше, да? Т.е. 87 человек из ста не испытают колебаний банкролла выше, чем 160 ставок вниз за 360 000 партий. Увеличив количество партий до 810 000 мы обнаружим, что таких людей 74%. Т.е. один из 4-х таки сольет больше.

Теперь вспомним, что матожидание наше плавает и точное значение его мы не знаем и мало того оно ещё меняется и мы играем хуже когда много залили кряду и найдем наиболее безрисковые значения банкролла - теперь уже несложно.

Можно заметить, что меняя значения дисперсии и Мо требования к банкроллу будут скакать не по детски. Например играя с дисперсией 16BB/100 требования к банкроллу будут уже в размере 300 ставок. Но если при этом матожидание уже 3 ставки/100, то все равно около 200 ставок должно хватить. (Это такое лёгкое сравнение коротких игр с длинными).

Слабоположительный игрок, который например зарабатывает в среднем лишь 0.5БС/100 при той же дисперсии может легко налететь на стрик в 700 ставок в минус.

По моей статистике (на сегодняшний день 155 тысяч партий) значение для 3-х сигм получается 262 ставки (я держу банкролл 500 т.к. живу этим, я недавно сократил его с 1000), а значения матожидания в пределах 2.3 и 4.4 ставок/100.